有关 dx 的随想
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因笔者学识不深，只略了解些许皮毛，故文章不保证严谨
从$\mathrm{d}x$开始
在一般的认识中，对于$y = f(x)$，有$\Delta y = f^{\prime} (x_0) \Delta x + \alpha \Delta x$，可以证明在$\Delta x$趋于$0$时，$\Delta y$与$\mathrm{d}y$为等价无穷小，故在$| \Delta x |$很小时，有$\Delta y \approx \mathrm{d}y$，此时把自变量$\Delta x$记作$\mathrm{d}x$，认为其为某个无穷小量的记号，于是$\mathrm{d}y = f^{\prime} (x_0) \mathrm{d}x$.
但在微分几何中给了$\mathrm{d}x$一种不同的解释. 这里有一个不涉及微分几何语言的简单但不一定准确的例子：在多元函数$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$中，其为$f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$，它的梯度为
\[\nabla f := \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{x_1} \\ \frac{\partial f}{x_2} \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{x_n} \end{pmatrix}\]对于一元函数，其函数的微分作为函数增量的替代，即
\[\Delta y \approx f^{\prime} (x_0) \Delta x\]多元函数同理，有
\[\Delta y \approx \nabla f \cdot \Delta x, \quad \Delta x \in \mathbb{R}^n\]这里$\Delta y \in \mathbb{R}$，$\Delta x \in \mathbb{R}^n$，故上面操作建立了一个从$\mathbb{R}^n$到$\mathbb{R}$的映射，即函数的微分确立了如下映射：
\[\mathrm{d}f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}, \quad \Delta x \mapsto \nabla f \cdot \Delta x, \quad \Delta x \in \mathbb{R}^n\]而多元函数的微分可写为
\[\mathrm{d}f = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} \mathrm{d}x_i\]故可知，$\mathrm{d}x_i$是这样一个映射：
\[\mathrm{d}x_i : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}, \quad \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \mapsto x_i\]结合对偶则可看得更清晰. 在定义了映射$V \times V \rightarrow V$和$\mathbb{R} \times V \rightarrow V$的$\mathbb{R}^n$上有限维矢量空间$V$中，其内积为
\[<x,y> = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \cdots x_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}\]这里我们可用发现，其一个行向量确定了一个从$V$到$\mathbb{R}$的线性映射. 这种线性映射称为$V$上的对偶矢量. 在这里我们可认为，一个列向量的对偶矢量为一个行向量，而所有的$V$上的对偶矢量的集合$V^{*}$称为$V$的对偶空间.
这里我们可不严谨地认为，一个所有列向量的集合为$V$，所有行向量的集合为$V^{*}$. 且它们互为对偶($V^{**} = V$).
因此可知，对偶空间的基是将$x, x \in \mathbb{R}^n$变成$V$上的基$x_i$的映射，也就是$\mathrm{d}x$.
也因此，函数的微分和梯度互为对偶：
\[\nabla f \in \mathbb{R}^n, \quad \mathrm{d}f \in (\mathbb{R})^{*}\]更多的映射
上面我们可以看到，$\mathrm{d}x$可以看成对偶空间的基，而行向量则被认为是一种从 $\mathbb{R}^n$ 上向量空间 $V$ 到 $\mathbb{R}$ 上的映射，进一步，其实所有矢量都可以被看成一种 $\mathbb{R}^n$ 中光滑函数的集合 $\mathscr{F}_{\mathbb{R}^n}$ 到 $\mathbb{R}$ 的一种映射，即：
\[\boldsymbol{v} : \mathscr{F}_{\mathbb{R}^n} \rightarrow \mathbb{R}\]也就是说，矢量是一种把在 $\mathbb{R}^n$ 上任意 $C^{\infty}$（即任意阶导数存在且连续）函数$f$变成实数的映射.
微分流形$M$上开覆盖${O_{\alpha}}$（开子集的集合）中$O_{\alpha}$有映射$\psi_{\alpha}:O_{\alpha} \rightarrow V_{\alpha}$，其中$V_{\alpha}$为$\mathbb{R}^n$用通常括扑衡量的开子集. 则$(O_{\alpha},\psi_{\alpha})$构成一个（局域）坐标系，坐标域为$O_{\alpha}$.
而我们所熟知的极坐标，本质上是二维流形$\mathbb{R}^2$选取了除了恒等映射所对应的坐标系外的另一个坐标系，也就是选取了$(O_{\beta},\psi_{\beta})$，其中$\psi_{\beta}$把$p \in O_{\beta}$映为$\psi_{\beta}(p) \in \mathbb{R}^2$，而其对应的自然坐标就是极坐标中的坐标. 而所谓的极坐标中坐标原点的奇异性，其实是因为极坐标的坐标域$O_{\beta}$并不包含原点.
而微分流形$M$上若存在映射$f:M \rightarrow \mathbb{R}$，则$f$为M上的标量场或M上的函数. 物理中众所周知的点电荷电势便是$\mathbb{R}^3$上流形$M=\mathbb{R}^3 - {q}$上的光滑函数，也因为流形$M$上不包含点电荷$q$所对应的点，故点电荷所在的点的电势无定义，从而无意义.